Legyen x, y, z három valódi és különbözõ szám, amelyek megfelelnek a 8. egyenletnek (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0, majd az alábbi opciók közül melyik helyes ? (a) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z az A.P-ben

Válasz:

A válasz (a).

Magyarázat:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 # írható

# 32x ^ 2 + 8Y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

vagy # 16x ^ 2 + 4Y ^ 2 + Z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

azaz # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + Z ^ 2-4x * 2y-2Y * Z-4x * z = 0 #

ha # A = 4x #, # B = 2y # és # C = Z #, akkor ez az

# A ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-AB-bc-ca = 0 #

vagy # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2BC-2ca = 0 #

vagy # (A ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2ac) = 0 #

vagy # (A-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

Most, ha három négyzet összege van #0#, mindegyiknek nullának kell lennie.

Ennélfogva # A-b = 0 #, # B-C = 0 # és # C-a = 0 #

azaz # A = b = c # és a mi esetünkben # 4x = 2y = z = k # mond

azután # X = k / 4 #, # Y = k / 2 # és # Z = k #

azaz # X, y # és # Z # vannak G.P, és # X / y = 2/4 = 1/2 #

# Y / Z = 1/2 # és így a válasz (a).

# X, y, z # három valódi és különbözõ szám, amelyek megfelelnek az egyenletnek

Adott

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8Y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y + (4x) ^ 2 + Z ^ 2-2 * 4x * Z + (2y) ^ 2 + Z ^ 2-2 * 2y * Z = 0 #

# => (4x-2Y) ^ 2 + (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

A három négyzetes valós mennyiség nulla, és mindegyiknek nullának kell lennie.

Ennélfogva # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1 / 2to #Opció (a)

# 4x-z = 0 => 4x = Z #

és

# 2y-z = 0 => 2y = Z #