Melyek az f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 helyi szélsőségei?

Válasz:

Helyi maximum # 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 #

Helyi minimum # 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #

Magyarázat:

A helyi extrém megállapításához használhatjuk az első derivált tesztet. Tudjuk, hogy egy helyi extrémánál legalább a függvény első deriváltja nulla. Tehát vegyük az első derivált, és állítsuk be 0-ra, és megoldjuk az x-et.

#f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x + 13 #

#f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

# 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 #

Ez az egyenlőség könnyen megoldható a négyzetes képlettel. A mi esetünkben, #a = -3 #, #b = 6 # és # C = 10 #

Négyszögletes képlet:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

Ha visszacsatoljuk értékeit a kvadratikus képletbe, megkapjuk

#x = (-6 + - sqrt (156)) / - 6 = 1 + - sqrt (156) / 6 = 1 + - sqrt (13/3) #

Most, hogy az x értékek vannak, ahol a helyi szélsőség van, csatlakoztassuk őket vissza az eredeti egyenletünkbe, hogy:

#f (1 + sqrt (13/3)) = 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 # és

#f (1 - sqrt (13/3)) = 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 #