# F8e6c kérdés

Válasz:

Kifejezzük azt geometriai sorozatnak, hogy megtaláljuk az összeget #12500/3#.

Magyarázat:

Ezt fejezzük ki:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1,12) ^ - k #

Mivel #1.12=112/100=28/25#, ez egyenértékű:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Az a tény, hogy # (A / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, nekünk van:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Azt is meg tudjuk húzni #500# az összegző jelből, így:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Rendben, most mi ez? Jól, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # az a geometriai sorozat. A geometriai sorozatok exponenseket tartalmaznak, ami pontosan az, ami itt van. A fantasztikus dolog, mint ez a geometriai sorozat, az, hogy összeadódnak # R / (1-r) #, hol # R # a közös arány; azaz az a szám, amelyet az exponensre emeltünk. Ebben az esetben, # R # jelentése #25/28#, mert #25/28# ami az exponensre emelkedik. (Oldaljegyzet: # R # közöttük kell lennie #-1# és #1#, vagy a sorozat nem ad semmit.)

Ezért a sorozat összege:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Észrevettük ezt #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, így az egyetlen dolog, ami maradt, hogy megszorozzuk #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Itt többet tudhat meg a geometriai sorozatokról (bátorítom, hogy nézd meg a Khan Akadémia egész sorozatát geometriai sorozaton).