Válasz:
#(-9/14,3/28)#
Magyarázat:
Kezdjük # Y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Ez sem standard formában, sem csúcsformában van, és mindig szívesebben dolgozom az egyik ilyen formával. Az első lépésem az, hogy a fenti rendet normál formává alakítsam. Ezt úgy végezzük, hogy megváltoztatjuk az egyenletet, amíg meg nem jelenik # Y = ax ^ 2 + bx + c #.
Először is foglalkozunk # (X + 1) ^ 2 #. Átírjuk azt # (X + 1) * (x + 1) #és egyszerűsítsd az elosztást, ami mindannyiunknak ad # X ^ 2 + x + x + 1 #, vagy # X ^ 2 + 2x + 1 #.
Most már van # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Ha egyszerűsítjük # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, ami elhagy minket # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Most kombinálhatunk hasonló feltételeket. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # ad nekünk # 7x ^ 2 #, és # 6x + 3x # egyenlő # # 9x. Most már van # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, amely standard formában van. Ne légy túl kényelmes, mert átalakítjuk hogy egy perc alatt a csúcsformába.
A csúcsforma megoldásához befejezzük a négyzetet. Használhatnánk a kvadratikus képletet, vagy grafikázhatnánk az egyenletünket, de hol van ez a móka? A tér kitöltése nehezebb, de ez egy olyan módszer, amit érdemes megtanulni, mert meglehetősen gyors, ha egyszer megdönti. Kezdjük el.
Először is el kell érnünk # X ^ 2 # önmagában (a szám kivételével nincsenek együtthatók #1# engedélyezett). Esetünkben meg kell határoznunk a #7# mindentől. Ez ad nekünk # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. Innen a középtávra van szükségünk # (9 / 7x) # és osztja az együtthatót #2#, ami #9/14#. Aztán térünk hogy és van #81/196#. Ezt hozzáadjuk egyenletünkhöz, így: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
VÁRJON!!! Csak egy véletlen számot ragadtunk az egyenletbe! Nem tehetjük ezt! Hogyan lehet ezt megjavítani? Nos, mi van, ha csak … kivonjuk a most hozzáadott számot? Ezután az érték nem változott #(81/196-81/196=0)#, tehát nem sértünk semmilyen szabályt, ugye? Oké, tegyük ezt.
Most már van # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Oké, most jó vagyunk. Mégis egyszerűsíteni kell, mert # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # hosszú és nehézkes. Így, #-81/196+3/7# jelentése #3/196#, és átírhatjuk # X ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # mint # (X + 9/14) * (x + 9/14) #, vagy # (X + 9/14) ^ 2 #. Lehet, hogy kíváncsi, hogy miért nem kombináltam #3/196# val vel #81/196#. Nos, tökéletes négyzetet akarok létrehozni, mint például # (X + 9/14) ^ 2 #. Valójában ez az egész a négyzet befejezésének pontja. # X ^ 2 + 9/7 + 3/7 # nem volt faktorozható, ezért megtaláltam azt a számot ((9/2) / 2 ^ 2), amely tényezővé teszi. Most van egy tökéletes négyzetünk, a kényelmetlen, tökéletlen dolgokkal, amik a végén vannak.
Tehát most már van # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Majdnem készen állunk, de még egy dolgot tehetünk: terjeszthetjük #7# nak nek #3/196#. Ez ad nekünk # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #, és most van a csúcsunk! Tól től # 7 (x + szín (zöld) (9/14)) ^ 2color (piros) (+ 3/28) #, mindkettőt kapjuk #COLOR (zöld) (X) #-érték és a mi #COLOR (piros) (y) #-érték. A csúcsunk # (szín (narancssárga) (-) szín (zöld) (9/14), szín (piros) (3/28)) #. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a jel #COLOR (zöld) (X) # összetevő szemben az egyenleten belül.
Munkánk ellenőrzéséhez csak az egyenletet grafikonozhatjuk meg, és így megtalálhatjuk a csúcsot.
diagramon {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
A csúcs a #(.643,.107)#, ami a kerekített tizedes alakja #(-9/14, 3/28)#. Igaza voltunk! Nagyszerű munka.
