Ha a ^ 3 + b ^ 3 = 8 és a ^ 2 + b ^ 2 = 4, mi az (a + b) értéke?

Válasz:

Az összegnek két lehetséges értéke van, # A + b = 2 # (az # A = 2 # és # B = 0 #) vagy # A + b = -4 # (az # a = -2 + i sqrt {2}, ## b = -2 - i sqrt {2}).

Magyarázat:

Tényleg két ismeretlen, az összeg és a termék # A # és # B # így hagyd #x = a + b # és #y = ab #.

# x ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2y + 4 #

# x ^ 3 = (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) = 8 + 3 xy #

Két egyenlet két ismeretlenben, # 2y = x ^ 2 -4 #

# 2x ^ 3 = 16 + 3x (2y) = 16 + 3x (x ^ 2 - 4) #

# x ^ 3 -12 x + 16 = 0 #

Ezt depressziós kockanak hívják, és ezeknek a zárt formájú megoldásoknak elég könnyű, mint a kvadratikus képlet. De ahelyett, hogy megérintenénk, győződjünk meg egy gyökérről, amikor a kicsi számok kipróbálásának módját tiszteletben tartjuk. Látjuk # X = 2 # így működik # (X-2) # tényező.

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x ^ 2 - 2x + 8) = 0 #

Most már további tényező is lehet

# x ^ 3 -12 x + 16 = (x-2) (x-2) (x + 4) = (x-2) ^ 2 (x + 4) = 0 #

Tehát az összegnek két lehetséges értéke van, # A + b = 2 # és # A + b = -4. #

Az első válasz az igazi megoldásnak felel meg # a = 2, b = 0 # és szimmetriával # a = 0, b = 2 #. A második válasz a komplex konjugátumok párjának összege. ők # a, b = -2 i sqrt {2} #. Megnézheti ezt a megoldást?

Válasz:

# (a + b) = 2, vagy a + b = -4 #

Magyarázat:

# "" a ^ 2 + b ^ 2 = 4 #

# => (A + b) ^ 2-2ab = 4 #

# => 2ab = (a + b) ^ 2-4 #

# => AB = ((a + b) ^ 2-4) / 2 #

Most,

# "" a ^ 3 + b ^ 3 = 8 #

# => (A + b) (a ^ 2-AB + b ^ 2) = 8 #

# => (A + b) (4-ab) = 8 #

# => (A + b) {4 - ((a + b) ^ 2-4) / 2} = 8 #

# => (A + b) {6 - ((a + b) ^ 2) / 2} = 8 #

Hagyja,

# (A + b) = X #

Így, # => X (6-x ^ 2/2) = 8 #

# => X (12-x ^ 2) = 16 #

# => X ^ 3-12x + 16 = 0 #

Figyelj rá #2^3-12*2+16=8-24+16=0#

#:. (X-2) # tényező.

Most, # X ^ 3-12x + 16 = ul (x ^ 3-2x ^ 2) + ul (2x ^ 2-4x) -ul (8x + 16) #,

# = X ^ 2 (x-2) + 2x (X-2) -8 (X-2) #, # = (X-2) (X ^ 2 + 2x-8) #, # = (X-2) (X + 4) (x-2) #.

#:. x ^ 3-12x + 16 == 0 rArr x = 2, vagy x = -4 #.

#:. a + b = 2, vagy a + b = -4 #.

A grafikon itt található.

Az értéke #color (piros) ((a + b) = 2, vagy -4. #

Remélem ez segít…

Köszönöm…