Mi a g (x) = x / csc (pi * x) minimális értéke a [0,1] intervallumon?

Válasz:

Van egy minimális érték #0# mindkét helyen található # X = 0 # és # X = 1 #.

Magyarázat:

Először is, ezt a függvényt azonnal felírhatjuk

#G (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Emlékeztetve erre #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Most, hogy minimális értékeket találjon egy intervallumban, ismerje fel, hogy azok az intervallum végpontjainál vagy bármely, az intervallumon belül bekövetkező kritikus értéknél jelentkezhetnek.

Az intervallumon belüli kritikus értékek megállapításához állítsa be a függvény deriváltját #0#.

És, hogy megkülönböztessük a funkciót, használnunk kell termékszabály. A termékszabály alkalmazása lehetővé teszi számunkra

#G '(x) = sin (pix) d / dx (x) + XD / dx (sin (pix)) #

Ezen származékok mindegyike adja:

# D / dx (x) = 1 #

És a láncszabály:

# D / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = Picos (pix) #

Ezeket egyesítve azt látjuk

#G '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Így a kritikus értékek minden esetben előfordulnak

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Ezt az algebrai megoldást nem tudjuk megoldani, ezért használjon számológépet, hogy megtalálja a funkció összes nulláját az adott intervallumban #0,1#:

grafikon {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Az intervallumon belüli két kritikus érték a # X = 0 # és # # Xapprox0.6485.

Szóval, tudjuk, hogy a minimális érték #G (X) # előfordulhat #3# különböző helyeken:

• # X = 0 # vagy # X = 1 #, az intervallum végpontjai
• # X = 0 # vagy # X = 0,6485 #, az intervallumon belüli kritikus értékek

Most csatlakoztassa az összes lehetséges értéket az intervallumba:

# {(G (0) = 0, szín (vörös) szöveg (minimum)), (g (0,6485) = 0,5792, szín (kék) szöveg (maximum)), (g (1) = 0, szín (vörös) szöveg (minimum)):} #

Mivel két olyan érték van, amelyek egyformán alacsonyak, mindkettő minimális # X = 0 # és # X = 1 #. Ne feledje, hogy bár végigmentünk a baj # X = 0,6485 #, nem is volt minimális.

Grafikus #G (X) # az intervallumban #0,1#:

grafikon {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Ne feledje, hogy a minimális érték #0#, azóta #G (0) = g (1) = 0 #. Ez a különbség # X = 0 # és # X = 1 # a minimumok helye.