Melyek a lehetséges racionális gyökerek x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Válasz:

Ez a kvinticnek nincs racionális gyökere.

Magyarázat:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

A racionális gyökér-tétel szerint a #f (X) # megjeleníthetők az űrlapon # P / q # egész számokra #p, q # val vel # P # az állandó kifejezés osztója #-12# és # Q # az együttható megosztója #1# a vezető kifejezés.

Ez azt jelenti, hogy az egyetlen lehetséges racionális nullák:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Vegye figyelembe, hogy #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # minden negatív együtthatóval rendelkezik. Ennélfogva #f (X) # nincs negatív nulla.

Tehát az egyetlen lehetséges racionális nullák:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Értékelő #f (X) # ezen értékek mindegyikére nem találtunk nulla értéket. Így #f (X) # nincs neki racionális nullák.

A legtöbb kvintikával és magasabb fokú polinomokkal együtt a nullák nem mutathatók ki # N #th gyökerek vagy elemi funkciók, beleértve a trigonometrikus funkciókat.

A közelítő adatok megtalálásához olyan numerikus módszereket használhat, mint a Durand-Kerner:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~ ~ -0,640414 + -0,877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #