Hogyan határozná meg a D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15) pontokon áthaladó kör egyenletét?

Válasz:

Minden pont helyettesítése a kör egyenletére, 3 egyenlet kifejlesztése, és azok, amelyek legalább 1 koordinátával közösek,#x# vagy # Y #).

Válasz:

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Magyarázat:

A kör egyenlete:

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Hol #α# #β# a kör közepének koordinátái.

Minden egyes helyettesítő:

D pont

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (1. egyenlet)

E pont

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (2. egyenlet)

F pont

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (3. egyenlet)

Elvont egyenletek #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Elvont egyenletek #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Most, hogy #α# és #β# ismertek, helyettesítsük őket bármelyik pontban (pontot fogunk használni) #D (-5, -5) #):

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Tehát a kör egyenlete lesz:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (X-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Válasz:

A kör egyenlete # (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Magyarázat:

Először meg kell találnunk a két vonal egyenletét, amelyek mindegyike merőleges az adott pontok párjaival kialakított szegmensekre, és áthalad e pontok középpontján.

A D és E pontok (# X_D = x_E = -5 #) az Y tengellyel párhuzamos vonalban vannak (# X = 0 #) és az E és F pontok (# Y_E = y_F = 15 #) az X tengellyel párhuzamos vonalban vannak (# Y = 0 #) célszerű ezeket a pontokat választani.

A DE egyenlet, ahol # X_D = x_E = -5 #

# X = -5 #

Az 1-es vonal egyenlete, amely merőleges a DE-re és áthalad a középponton #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

1. sor# -> y = 5 #

A vonal EF egyenlete, ahol # Y_E = y_F = 15 #

# Y = 15 #

Az EF vonalra merőleges 2. vonal és a középponton áthaladó egyenlet #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) => #M_EF (5,15) #

2. sor# -> x = 5 #

Az 1. és 2. sor egyenletek kombinálása (# Y = 5 # és # X = 5 #) megtaláljuk a kör közepét, C pontot

#C (5,5) #

A C pont és az adott pontok közötti távolság megegyezik a kör sugarával

# R = D_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

A kör egyenletének képletében:

# (X-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #