Válasz:
#3#
Magyarázat:
enged
# X = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
ahol a megoldásunkat pozitívnak tartjuk, mivel csak a pozitív négyzetgyöket veszünk, azaz #X> = 0 #. Mindkét oldalt szegélyezzük
# X ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => X ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Ahol ezúttal a bal oldalt pozitívnak tartjuk, hiszen csak a pozitív négyzetgyöket akarjuk, azaz.
# X ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
ahol megszüntettük a lehetőséget #X <= - sqrt (7) # az első kényszer használatával.
Ismét a két oldal kettősítése van
# (X ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Az ismétlődő négyzetgyökben a kifejezés az eredeti kifejezés #x#, ebből adódóan
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
vagy
# (X ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Ennek az egyenletnek a kísérleti megoldása van # X = -2 # és # X = + 3 # amely a következő faktorizációt eredményezi
# (X + 2) (X-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
A harmadik tényező négyzetes képletének használata # (X ^ 2 + x-7) = 0 # még két gyökeret ad:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2,19 "és" -3.19 #
Ezért a polinom négy gyökere #-3.19…, -2, 2.19…, # és #3#. Ezek közül az értékek közül csak az egyik megfelel a megszorításnak #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #, ebből adódóan
# X = 3 #
Válasz:
Egy másik módja
Magyarázat:
Szeretnék egy trükkös módszert megvitatni, hogy egy olyan pillantást vethessünk rá az ismétlődő négyzetgyök problémájára, mint a következő
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
hol # r # a következő sorozathoz tartozik
#3,7,13,21,31…………#, amelynek általános kifejezését a
# M ^ 2-m + 1 # hol # m epsilon N # és #p> 1 #
TRÜKK
Ha az 1 számot levonjuk az adott számból # M ^ 2-m + 1 # a kapott szám lesz # M ^ 2-m # ami #m (m-1) # és ami nem más, mint a két egymást követő szám terméke, és a kettő közül az egyik a probléma egyedülálló megoldása lesz.
amikor r = # M ^ 2-m + 1 # a tényező # M ^ 2-m + 1-1 # = # (M-1) m # és m a válasz
ha r = 3, a válasz a (3-1) = 2 = 1,2 és 2 tényező
ha r = 7, a válasz a (7-1) = 6 = 2,3 és 3 tényező
stb…….
Magyarázat
bevétel
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + s …)
Squaring mindkét oldalon
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Ismét Squaring mindkét oldalon
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
r = elhelyezése # M ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
ha x = m-t teszünk az egyenlet LHS-be, akkor az LHS lesz
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (törlés (m ^ 2) - törlés (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (M-1)) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
az egyenlet teljesül.
Ezért m a válasz
tegyük
# x = sqrt (7 + sqrt (7 sqrt (7 sqrt.
Ezt könnyen láthatjuk
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = X #
Tehát megoldjuk az egyenletet:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
Ez nem egy triviális egyenlet, amelyet meg kell oldani. A másik kérdésre válaszolt személy a 3. megoldást adott. Ha megpróbálod, akkor igaz lesz.
