Melyek az f (x) = 3x-1 / sinx extrémája a [pi / 2, (3pi) / 4] -nél?

Válasz:

A tartomány abszolút minimális értéke kb. # (pi / 2, 3.7124) #, és a tartomány abszolút max értéke kb. # (3pi / 4, 5.6544) #. Nincs helyi szélsőség.

Magyarázat:

Mielőtt elkezdenénk, meg kell vizsgálnunk és meg kell vizsgálnunk, hogy #sin x # értéket vesz fel #0# az intervallum bármely pontján. #sin x # minden x esetében nulla, így #x = npi #. # Pi / 2 # és # 3pi / 4 # mindkettő kevesebb, mint # Pi # és nagyobb, mint # 0pi = 0 #; és így, #sin x # itt nem vesz egy nulla értéket.

Ennek megállapítása érdekében emlékezzünk arra, hogy egy szélsőséges helyzet fordul elő #f '(x) = 0 # (kritikus pontok) vagy az egyik végpontban. Ezt szem előtt tartva figyelembe vesszük a fenti f (x) származékát, és találunk olyan pontokat, ahol ez a származék 0-nak felel meg

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Hogyan oldjuk meg ezt az utolsó kifejezést?

Tekintsen röviden a kölcsönös szabály, amelyet úgy alakítottunk ki, hogy az olyan helyzeteket kezeljük, mint az utolsó # d / (dx) (1 / sin x) #. A kölcsönös szabály lehetővé teszi számunkra, hogy közvetlenül a lánc vagy a hányados szabály használatával megkerüljük azt, hogy megkülönböztethető funkciót kapunk #G (X) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

amikor #g (x)! = 0 #

Visszatérve a fő egyenletünkhöz, elhagyottunk;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Mivel #sin (X) # differenciálható, itt alkalmazhatjuk a kölcsönös szabályt:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Ha 0-at egyenlő, akkor megérkezik:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Ez csak akkor fordulhat elő, ha #cos x / sin ^ 2 x = -3.. Innen lehet, hogy a trigonometrikus definíciók egyikét használjuk # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Ez egy polinomhoz hasonlít #cos x # helyettesítjük a hagyományos x-et. Így kijelentjük #cos x = u # és…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. A kvadratikus képlet használata itt …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

A gyökereink a #u = (1 + -sqrt37) / 6 # ennek megfelelően. Az egyik ilyen gyökér (# (1 + sqrt37) / 6 #) nem lehet gyökér #cos x # mert a gyökér nagyobb, mint 1, és # -1 <= cosx <= 1 # minden x esetében. Második gyökérünk viszont úgy számol, mint körülbelül #-.847127#. Ez azonban kisebb, mint a minimális érték #cos x # a funkció az intervallumon belül lehet #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-847127 #. És így, nincs kritikus pont a tartományban.

Ezt szem előtt tartva vissza kell térnünk a végpontjainkhoz, és be kell helyeznünk őket az eredeti funkcióba. Ilyen módon kapjuk meg #f (pi / 2) kb. 3,7124, f (3pi / 4) kb.

Így a mi tartományunkban abszolút minimumunk megközelítőleg # (pi / 2, 3.7124), # és a maximumunk megközelítőleg # (3pi / 4, 5.6544) #