Mik az f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Válasz:

# X = 0 # egy aszimptóta.

# X = 1 # egy aszimptóta.

#(3, 5/18)# egy lyuk.

Magyarázat:

Először is, egyszerűsítsük a töredékünket anélkül, hogy bármit megszakítanánk (mivel korlátokat veszünk, és a cuccok törlése esetleg elkeserülhet).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Most: a lyukak és az aszimptoták olyan értékek, amelyek funkciót definiálnak. Mivel racionális funkciónk van, akkor nem lesz meghatározva, ha és csak akkor, ha a nevező 0-nak felel meg. Ezért csak a #x# amely nevezőt alkot #0#, amelyek:

# X = 0 #

# X = 1 #

# X = 3 #

Hogy megtudjuk, hogy ezek aszimptoták vagy lyukak-e, vesszük a határértéket #f (X) # mint #x# megközelíti ezeket a számokat.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (X-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

Így # X = 0 # egy aszimptóta.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

Így # X = 1 # egy aszimptóta.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2))) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Így #(3, 5/18)# egy lyuk #f (X) #.

Végleges válasz