Melyek azok az értékek, amelyekre az x (x-1) (x-2) (x-3) = m egyenlet minden valós valós számmal rendelkezik?

Válasz:

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Magyarázat:

Ezt megvan #x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

Most csinálj

# X ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-a) ^ 4 + b (x-a) ^ 2 + c # és egyenlő együtthatókat kapunk

# {(a ^ 4 + a ^ 2 b + c + m = 0), (4 a ^ 3 + 2 a b-6 = 0), (11 - 6 a ^ 2 - b = 0), (4 a -6 = 0):} #

Megoldás #ABC# kapunk

# A = 3/2, b = -5/2, c = 1/16 (9-16m) # vagy

# X ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-3/2) ^ 4-5 / 2 (X-3/2) ^ 2 + 1/16-ig (9-16m) = 0 #

Ennek az egyenletnek a megoldása #x# kapunk

#x = 1/2 (15:00 sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

Ezek a gyökerek valódiak, ha # 5 pm 4sqrt (m + 1) ge 0 # vagy

#m le (5/4) ^ 2-1 #