A két egymást követő szám négyzetének összege 390. Hogyan fogalmazzuk meg a négyzetes egyenletet a két szám megtalálásához?

Válasz:

A négyzetes lenne # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Ez nem tartalmaz egész számokat.

A két egész szám négyzetének összege sem egyenlő #390#.

Két Gauss egész szám négyzeteinek összege 390 lehet.

Magyarázat:

Ha a két szám kisebb # N #, akkor a nagyobb # N + 1 # és a négyzetek összege:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Tehát a kvadratikus egyenlet, amelyet meg akarunk oldani, az:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

vagy ha inkább:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Megjegyezzük azonban, hogy minden egész számra # N # összege # 2n ^ 2 + 2n + 1 # furcsa lesz, így nem lehetséges #390# két összevont egész szám négyzeteinek összege.

A két egész szám négyzetének összegeként fejezhető ki?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# nem négyzet

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# nem négyzet

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# nem négyzet

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# nem négyzet

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# nem négyzet

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# nem négyzet

Nem - ha tovább megyünk, a négyzet kivonása után a nagy maradék nem lesz az egyikünk, amelyet már ellenőrizünk.

#fehér szín)()#

Komplex lábjegyzet

Van egy pár Gauss-egész szám, amelynek négyzetének összege #390#?

Igen.

Tegyük fel, hogy találunk egy Gauss-egész számot # M + ni #, amelynek négyzetének valódi része #195#. Ekkor a Gauss-egész szám négyzetének és a komplex konjugátum négyzetének összege lenne megoldás.

Találunk:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Tehát egész számokat akarunk megtalálni #m, n # oly módon, hogy # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Jól:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Ezért találjuk:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Egy másik megoldás, amely abból a tényből ered, hogy minden páratlan szám a két egymást követő szám négyzetének különbsége:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #

Három egymást követő páratlan egész szám olyan, hogy a harmadik egész szám négyzetének értéke 345-rel kisebb, mint az első kettő négyzetének összege. Hogyan találja meg az egész számokat?

Két megoldás létezik: 21, 23, 25 vagy -17, -15, -13 Ha a legkisebb egész szám n, akkor a többiek n + 2 és n + 4 A kérdés értelmezése: (n + 4) ^ 2 = n ^ 2 + (n + 2) ^ 2-345, amely kiterjed: n ^ 2 + 8n + 16 = n ^ 2 + n ^ 2 + 4n + 4 - 345 szín (fehér) (n ^ 2 + 8n +16) = 2n ^ 2 + 4n-341 Az n ^ 2 + 8n + 16 kivonása mindkét végén: 0 = n ^ 2-4n-357 szín (fehér) (0) = n ^ 2-4n + 4 -361 szín (fehér) (0) = (n-2) ^ 2-19 ^ 2 szín (fehér) (0) = ((n-2) -19) ((n-2) +19) szín (fehér ) (0) = (n-21) (n + 17) Tehá

Ismerve a képletet az N egész számok összegére a) mi az összege az első N egymást követő négyzetes egész számból, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Az első N egymást követő kocka egész számok összege Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Összeg_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 összeg_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = összeg_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + összeg_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ n + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 az összegzéshez {i = 0} ^ ni ^ 2 összeg_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni, de az összeg_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 &

"Léna 2 egymást követő egész számot tartalmaz.Megjegyzi, hogy összege megegyezik a négyzetek közötti különbséggel. Lena újabb 2 egymást követő egész számot választ, és ugyanezt észrevette. Bizonyítsuk be algebrai módon, hogy ez igaz minden 2 egymást követő egész számra?

Kérjük, olvassa el a magyarázatot. Emlékezzünk vissza, hogy az egymást követő egész számok 1-től eltérnek. Ha tehát m egy egész szám, akkor a következő egész számnak n + 1-nek kell lennie. E két egész szám összege n + (n + 1) = 2n + 1. A négyzetük közötti különbség (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, kívánt esetben! Érezd a matematika örömét!