Van-e olyan pont (x, y) az y = x ^ görbén (x (1 + 1 / y)), x> 0, ahol az érintő párhuzamos az x-tengellyel?

Válasz:

Nincs ilyen pont, amennyire a matematikám megy.

Magyarázat:

Először is vizsgáljuk meg az érintő körülményeit, ha párhuzamos a #x#-tengely. Mivel a #x#-axis vízszintes, minden azzal párhuzamos vonalnak vízszintesnek is kell lennie; így következik, hogy az érintővonal vízszintes. És természetesen vízszintes érintők fordulnak elő, ha a származék egyenlő #0#.

Ezért először el kell kezdenünk a szörnyű egyenlet deriváltjának megtalálásával, amelyet implicit differenciálással lehet elérni:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) LNX #

Az összegszabály, a láncszabály, a termékszabály, a hányadosszabály és az algebra használatával:

# D / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) LNX) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1+ (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (Y + xlnx) #

Wow … intenzív volt. Most megegyező értéket állítottunk be #0# és nézd meg, mi történik.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (Y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -Ylnx-y = LNX + 1 #

# -Y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#Y (LNX + 1) = - (lnx + 1) #

#Y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# Y = -1 #

Érdekes. Most dugjuk be # Y = -1 # és nézd meg, mit kapunk #x#:

# Y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Mivel ez ellentmondás, arra a következtetésre jutunk, hogy nincsenek pontok, amelyek megfelelnek ennek a feltételnek.

Válasz:

Nincs ilyen érintő.

Magyarázat:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) egyenlő y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Most hívja #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # nekünk van

#df = f_x dx + f_y dy = (részleges u) / (részleges x) dx + (részleges v) / (részleges y) dy = 0 # azután

# dy / dx = - ((részleges u) / (részleges x)) / ((részleges v) / (részleges y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Ezt látjuk # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # de ezeknek az értékeknek ellenőrizniük kell:

#f (x, y_0) = 0 # és

#f (x_0, y) = 0 #

Az első esetben # y_0 = 1 # nekünk van

# x ^ x = -1 # ami a valós tartományban nem érhető el.

A második esetben # x_0 = e ^ {- 1} # nekünk van

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # vagy

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

de

# y / (y + 1) log_e y> -1 # így nincs is igazi megoldás.

Összefoglalva, nincs ilyen érintő.

Válasz:

Dr, Cawa K, x = 1 / e válasz pontos.

Magyarázat:

Javasoltam ezt a kérdést, hogy pontosan ezt az értéket kapjam. Köszönet

Dr, Cawas döntő választ adott a kinyilatkoztatás jóváhagyására

a kettős pontosság y '0 körül marad ezen az intervallumon. y az

folyamatos és differenciálható x = 1 / e. Mivel mind a 17-es dupla

y és y 'pontossága 0, ebben az intervallumban x = 1 / e körül volt a

feltételezi, hogy az x-tengely megérinti a közbülső grafikonot. És most

bizonyított. Azt hiszem, az érintés transzcendentális..