Válasz:
Lásd a magyarázatot
Magyarázat:
Könnyű látni ezt
# X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Ezért van ez # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 vagy x = -3 #
Ne feledje, hogy a gyökerek # X_1 = 3, x_2 = -3 # sokféle #2#
mert van egy negyedik fokú polinomunk.
Válasz:
#x = + -3 #
Magyarázat:
Általában a 4-es fokú polinom megoldásához, mint az itt leírtakhoz, szintetikus megosztást kell végezni, és sok tételt és szabályt kell használnia - ez rendetlen lesz. Ez azonban különleges, mert valójában kvadratikus egyenletnek tekinthetjük.
Ezt úgy adjuk meg, hogy hagyjuk #u = x ^ 2 #. Ne aggódj, hol # U # származott; ez csak valami, amit a probléma egyszerűsítésére használunk. Val vel #u = x ^ 2 #, a probléma lesz
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Nem néz ki jobban? Most egy szép, egyszerű kvadratikus egyenletgel foglalkozunk. Valójában ez egy tökéletes tér; más szóval, ha azt tényleg befolyásolja, kapsz # (U-9) ^ 2 #. Természetesen az egyenlet megoldásához használhatnánk a négyzetes képletet, vagy kitölthetnénk a négyzetet, de általában nem elég szerencsés, hogy tökéletes négyzet alakú négyzet - így kihasználja. Ezen a ponton:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
A megoldáshoz mindkét oldal négyzetgyökét vesszük:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
És ez egyszerűsíti
# u-9 = 0 #
Végül mindkét oldalhoz 9-et adunk hozzá
#u = 9 #
Fantasztikus! Majdnem ott. Az eredeti problémánk azonban #x#s benne van, és a válaszunk a # U # benne. Konvertálni kell #u = 9 # -ba #x = # valami. De ne félj! Emlékezzünk az elején, amit mondtunk #u = x ^ 2 #? Nos, most már van # U #, csak csatlakoztassuk vissza, hogy megtaláljuk #x#. Így, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (mert #(-3)^2 = 9# és #(3)^2 = 9#)
Ezért megoldásaink vannak #x = 3 # és #x = -3 #. Vegye figyelembe, hogy #x = 3 # és #x = -3 # kettős gyökerek, így technikailag az összes gyökér #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
