Két P_ "1" és P_ "2" műhold R és 4R sugarú körökben forog. A P_ "1" és a P_ "2" összekötő vonal maximális és minimális szögsebességeinek aránya ??

Válasz:

#-9/5#

Magyarázat:

Kepler harmadik törvénye szerint # T ^ 2 propto R ^ 3 az omega propto R ^ {- 3/2} # -et jelenti, ha a külső műhold szögsebessége #omega#, a belsőé #omega idők (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Gondolkodjunk el rajta # T = 0 # azonnal, amikor a két műhold egymás mellé áll az anya bolygójával, és vesszük ezt a közös vonalat mint a #X# tengely. Ezután a két bolygó koordinátái időben # T # vannak # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # és # (4R cos (omega t), 4R sin (omega t)) #, illetve.

enged # # Theta legyen az a szöge, amellyel a két műholdat összekötő vonal a #X# tengely. Könnyű látni ezt

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

A differenciálási hozamok

# sec ^ teta (déta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2-szer #

#qquad (4 cos (omega t) -kos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4omega sin (omega t) +8 omega sin (8 omega t)) # #

És így

# (4 cos (omega t) -cos (8 omega)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega) t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) # #

# = 4 omega 6-9 ct (7 omega t) azt jelenti, hogy #

# (17 -8 cos (7 omega t)) (déta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) azt jelenti, hogy #

# (déta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 -8 cos (7 omega t)) ekvivalens 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Hol a funkció

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

a származéka van

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

és ezáltal az intervallumban monoton csökken #-1,1#.

Így a szögsebesség # (d theta) / dt # maximális, amikor #cos (7 omega t) # minimális, és fordítva.

Így, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 omega (2 - 3-szor (-1)) / (17-8-szor (-1)) #

#qquad qquad qquad = 12 omega-szor 5/25 = 12/5 omega #

# ((d theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 alkalommal 1) / (17-8 alkalommal 1) #

#qquad qquad qquad = 12 omega (-1) / 9 = -4/3 omega #

és így a kettő közötti arány:

# 12/5 omega: -4/3 omega = -9: 5 #

jegyzet A tény, hogy a # (d theta) / dt # a változások jelek az úgynevezett nyilvánvaló retrográd mozgás oka