Amikor a 3-as számításokhoz a langrage multiplikátorokat használjuk ... azt mondom, hogy már találtam a kritikus pontjaimat, és kaptam egy értéket belőle. hogyan tudom, hogy min vagy max érték?

Válasz:

Az egyik lehetséges mód a hesseni (2. derivált teszt).

Magyarázat:

Jellemzően, hogy ellenőrizze, hogy a kritikus pontok min vagy max, akkor gyakran használja a második derivált tesztet, amely megköveteli, hogy 4 részleges származékot találjunk, feltételezve, hogy #f (x, y) #:

#f _ { "xx"} (x, y) #, #f _ { "XY"} (x, y) #, #f _ { "yx"} (x, y) #, és #f _ { "yy"} (x, y) #

Ne feledje, hogy ha mindkettő #f _ { "XY"} # és #f _ { "yx"} # folyamatosak egy érdekes régióban, azok egyenlőek lesznek.

Miután meghatároztuk ezeket a 4-et, akkor használhatunk egy speciális mátrixot, amelyet Hesseni-nek nevezünk, hogy megtaláljuk a mátrix meghatározóját (ami elég zavaros, gyakran Hesseni néven is nevezik), ami néhány információt ad neked a pont jellege. Így határozza meg a hesseni mátrixot:

#H = | (f_ {"xx"} szín (fehér) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} szín (fehér) (, aa) f_ {yy}) | #

Miután létrehozta ezt a mátrixot (és ez egy "függvény" mátrix lesz, mivel a tartalom x és y függvényei lesznek), akkor az egyik kritikus pontot megteheted és értékelheted a teljes mátrix determinánt. Ugyanis:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {yy "} (x_0, y_0)) - (f_ {" xy "} (x_0, y_0)) ^ 2 #

A számítás eredményeitől függően megtudhatja a kritikus pont jellegét:

Ha #H> 0 #, ott van egy perc / max. Ellenőrizze a jelet #f _ { "xx"} #. Ha pozitív, akkor a pont min. Ha ez negatív, a pont egy max. (Ez analóg az x változó függvények "hagyományos" második derivált tesztjével.)

Ha #H <0 #, ott van egy nyeregpont.

Ha #H = 0 #, a teszt nem meggyőző, és más eszközökre kell támaszkodnia, mint például a függvény grafikája, hogy vizuálisan meghatározza.