Milyen szórakoztató, hasznos, matematikai tényt tudsz, amit általában nem tanítanak az iskolában?

Válasz:

Hogyan értékeljük az "exponens tornyait", például #2^(2^(2^2))#, és hogyan dolgozzuk ki az utolsó számjegyét # 2 ^ n, # # # NinNN.

Magyarázat:

E „tornyok” értékeléséhez a tetején kezdjük és lefelé dolgozunk.

Így:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Hasonló, de kissé nem kapcsolódó feljegyzésen is tudom, hogyan dolgozhatom ki az utolsó számjegyeket #2# bármilyen természetes exponensre emelték. Az utolsó számjegy #2# valamit mindig felemelnek négy érték között: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Tehát, ha szeretné megtalálni az utolsó számjegyet # 2 ^ n #, keresse meg, hogy melyik hely van a ciklusban, és tudni fogja az utolsó számjegyét.

Válasz:

Ha #n> 0 # és # A # egy közelítés #sqrt (n) #, azután:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) # #

hol #b = n-a ^ 2 #

Magyarázat:

Tegyük fel, hogy szeretnénk megtalálni a szám négyzetgyökét #n> 0 #.

Továbbá szeretnénk, ha az eredmény valamilyen folytonos frakció lenne, amely minden lépésben megismétlődik.

Próbáld ki:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) # #

#color (fehér) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) # #

#color (fehér) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

levon # A # mindkét végén:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Szorozzuk mindkét oldalt #sqrt (n) + a # megkapja:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Tehát, ha # A ^ 2 # egy kicsit kevesebb, mint # N #, azután # B # kicsi lesz, és a folytatódó frakció gyorsabban konvergál.

Például, ha van # N = 28 # és válasszon # A = 5 #, akkor kapunk:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

Így:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …))))) #

amely közelít minket:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~ ~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~ 5,2915094 #

Egy számológép azt mondja #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Tehát ez nem közeledik különösen gyorsan.

Alternatívaként elhelyezhetjük # N = 28 # és # A = 127/24 # megtalálni:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

Így:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

közelít minket:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5,29bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~ ~ 5.29150262467 #

Ez sokkal gyorsabb.

Válasz:

A négyzetgyök közelítései rekurzívan definiált szekvencia segítségével találhatók.

Magyarázat:

#fehér szín)()#

A módszer

Pozitív egész szám # N # ami nem tökéletes négyzet:

• enged #p = padló (sqrt (n)) # legyen a legnagyobb pozitív egész szám, amelynek négyzete nem haladja meg a # N #.

• enged #q = n-p ^ 2 #

• Az egész számok sorozata:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "az" i> = 1) esetén:} #

Ezután a szekvencia egymást követő kifejezéseinek aránya irányul # P + sqrt (n) #

#fehér szín)()#

Példa

enged # N = 7 #.

Azután #p = padló (sqrt (7)) = 2 #, azóta #2^2=4 < 7# de #3^2 = 9 > 7#.

Azután # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

Így kezdődik a sorrend:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Elméletileg az egymást követő kifejezések arányának kell irányulnia # 2 + sqrt (7) #

Lássuk:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Vegye figyelembe, hogy # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#fehér szín)()#

Hogyan működik

Tegyük fel, hogy az adott értékek által meghatározott sorrend van # a_1, a_2 # és egy szabály:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

bizonyos konstansokra # P # és # Q #.

Fontolja meg az egyenletet:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Ennek az egyenletnek a gyökerei a következők:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Ezután bármely általános kifejezésű szekvencia # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # kielégíti a megadott ismétlődési szabályt.

Következő megoldás:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

mert # A # és # B #.

Találunk:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

és így:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Tehát ezek az értékek # x_1, x_2, A, B # nekünk van:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Ha #q <3p ^ 2 # azután #abs (x_2) <1 # és az egymást követő kifejezések aránya tovább fog haladni # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Válasz:

Moduláris felosztás

Magyarázat:

A moduláris felosztás ugyanolyan, mint a felosztás, kivéve a válasz a tényleges érték helyett. Ahelyett, hogy a #-:# szimbólumot használ #%# szimbólum.

Például általában, ha megoldaná #16-:5# megkapnád #3# maradék #1# vagy #3.2#. Moduláris felosztással azonban #16%5=1#.

Válasz:

A négyzetek értékelése összegzésekkel

Magyarázat:

Általában olyan négyzeteket kell ismernie, mint a #5^2=25#. Ha azonban a számok nagyobbak, mint például #25^2#, nehezebb lesz megismerni a fejed tetejét.

Rájöttem, hogy egy idő után a négyzetek csak páratlan számok.

Ez azt jelenti, hogy:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # hol # K # az alapérték mínusz #1#

Így #5^2# írható:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Ez ad neked:

#1+3+5+7+9#

Ez valójában #25#.

Mivel a számok mindig növekszenek #2#, Majd hozzáadhatnám az első és az utolsó számot, majd megszorozhatnám # K / 2 #.

Így #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Szóval csak meg tudom csinálni #(49+1)(25/2)# és kap #25^2# ami #625#.

Ez nem igazán praktikus, de érdekes tudni.

#fehér szín)()#

pótlék

Tudva, hogy:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n kifejezések" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

lehetővé teszi számunkra a négyzetek közötti különbségekkel kapcsolatos problémák megoldását.

Például, milyen megoldások vannak pozitív egész számokban #m, n # nak,-nek # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Ez csökkenti, hogy az egymást követő páratlan egészek összege összeadódjon #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "átlagos 20" #

#color (fehér) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (fehér) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (fehér) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "átlagos 10" #

#color (fehér) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (fehér) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (fehér) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #