Hogyan egyszerűsítheti a root3-at (1)?

Válasz:

#1# vagy #1^(1/3)# =#1#

Magyarázat:

Az 1-es kocka gyökere megegyezik az 1-es emelésével #1/3#. Az 1-es hatalom bármihez még mindig 1.

Válasz:

A valóságban dolgozunk #root 3 {1} = 1 #.

Minden nem nulla komplex számnak három kocka gyökere van, így van

#root 3 {1} = 1 vagy -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Magyarázat:

Ha valódi számokban dolgozunk, csak megjegyezzük #root 3 {1} = gyökér 3 {1 ^ 3} = 1 #. Feltételezem, hogy ez összetett számokról szól.

Az egyik furcsa dolog, amit komplex számokba merítünk, az a funkció #f (Z) = e ^ {Z} # időszakos. Az exponenciális növekedés az időszakos ellentét, így ez meglepetés.

A legfontosabb tény az Euler identitása. Ezt hívom Euler igazi identitása.

# e ^ {2 p i} = 1 #

Euler igazi identitása mutatja # E ^ z # időszakos # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ ze {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Az Euler igazi identitását bármilyen egész teljesítményre emelhetjük # K #:

# e ^ {2 t

Mi ez az egész a kocka gyökérével? Ez a kulcs. Azt mondja, van egy számszerűen végtelen számú írásmód. Némelyikük különböző kocka gyökerekkel rendelkezik, mint mások. Ez az oka annak, hogy a nem egész számok exponensek több értéket eredményeznek.

Ez egy nagy lerakás. Általában csak írásban kezdem el ezeket:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # egész számra # K #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

Az utolsó lépés természetesen Euler képlete # e ^ {theta} = cos theta + i-t theta.

Mivel van # # 2pi a triggerfüggvények gyakorisága (ami az exponenciális és az Euler képlet gyakoriságából következik) csak három egymást követő # K #s. Értékeljük ezt # K = 0,1, -1 #:

# K #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# K #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# K #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Tehát három értéket kapunk a kocka gyökéréhez:

#root 3 {1} = 1 vagy -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #