E ^ x / ([x] +1), x> 0 és ahol [x] a legnagyobb egész számot jelöli?

Válasz:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Magyarázat:

Feltételezem #x# a legkisebb egész szám, ami nagyobb, mint #x#. A következő válaszban fogjuk használni a jelölést #ceil (X) #, amelyet mennyezeti funkciónak nevezünk.

enged #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Mivel #x# szigorúan nagyobb, mint #0#, ez azt jelenti, hogy a # F # jelentése # (0, + oo) #.

Mint #X> 0 #, #ceil (x)> 1 # és azóta # E ^ x # mindig pozitív, # F # mindig szigorúan nagyobb, mint #0# a tartományában. Fontos megjegyezni, hogy # F # jelentése nem injektív, és nem is folytonos a természetes számokon. Ezt bizonyítani kell # N # természetes szám:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Mert #X> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Hasonlóképpen, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Mivel a bal és jobb oldali határok nem egyenlőek, # F # nem egész számokban folytonos. Is, #L> R # mindenkinek #n NN #.

Mint # F # a pozitív egész számok által határolt intervallumokban növekszik, az intervallumonként a "legkisebb értékek" olyanok lesznek, mint #x# a jobb alsó határhoz közeledik.

Ezért a minimális érték # F # lesz

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Ez a tartomány alsó határa # F #.

Bár nem igazán helyes azt mondani # F # növekszik, az értelemben, aszimptotikusan megközelíti a végtelenséget - amint az alábbiakban bizonyított:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Mint #ceilx> = x #, létezik egy #delta <1 # oly módon, hogy # Ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

enged #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# E ^ u # exponenciálisan nő # U # ezt lineárisan teszi, azaz

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Ezért a # F # jelentése

# "Tartomány" = (1/2, oo) #

Az intervallum nyitva van a bal oldalon, mert #http: // 2 # még mindig #f (0) #, és mint #x# megközelít #0^+#, #f (X) # csak megközelítések #http: // 2 #; soha nem egyenlő.