A testet 10 órakor találták egy raktárban, ahol a hőmérséklet 40 ° F volt. Az orvos megvizsgálta, hogy a test hőmérséklete 80 ° F. Mi volt a halál közelítő ideje?

Válasz:

A halál becsült ideje #8:02:24# am.

Fontos megjegyezni, hogy ez a test bőrhőmérséklete. Az orvosi vizsgáló mérni fogja a belső hőmérsékletet, ami sokkal lassabb lenne.

Magyarázat:

Newton hűtési törvénye megállapítja, hogy a hőmérséklet változásának aránya arányos a környezeti hőmérséklet különbségével. Azaz

# (dT) / (dt) támogatás T - T_0 #

Ha #T> T_0 # akkor a testnek hűlnie kell, hogy a származéknak negatívnak kell lennie, ezért beillesztjük az arányosság konstansot és megérkezünk

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

A zárójel és a váltó dolgok szorzata a következő kapcsán:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Mostantól az ODE-k megoldására használhatja az integráló faktor-módszert.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Szorozzuk mindkét oldalt #I (X) # eljutni

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Vegye figyelembe, hogy a termékszabály használatával átírhatjuk az LHS-t, így:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrálja mindkét oldalt a következőre: # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Oszd el # E ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Az átlagos emberi testhőmérséklet # 98,6 ° "F" #.

#az T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

# = C = 58,6 #

enged # # T_f az az idő, amikor a test megtalálható.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58,6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1,96 óra #

Tehát a halál időpontjától, feltételezve, hogy a test azonnal elkezd hűlni, 1,96 órát vett igénybe, hogy elérje a 80 ° F-ot, amikor azt találták.

# 1.96h = 117,6 perc #

A halál becsült ideje #8:02:24# am