Mekkora az f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) érintővonalához képest normál vonal lineáris értéke x = (15pi) / 8?

Válasz:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktív grafikon

Magyarázat:

Az első dolog, amit meg kell tennünk, a számítás #f '(x) # nál nél #x = (15pi) / 8 #.

Végezzük ezt a kifejezést. A # Sec ^ 2 (X) # kifejezzük, hogy két funkciónk van egymásba ágyazva: # X ^ 2 #, és #sec (X) #. Tehát itt egy láncszabályt kell használnunk:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (kék) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

A 2. ciklusban termékszabályt kell használnunk. Így:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = szín (piros) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + szín (piros) (d / dxcos (x-pi / 4))(x)#

#color (kék) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Lehet, hogy vajon miért nem használtuk a láncszabályt erre a részre, mivel van egy # (x - pi / 4) # a kozin belsejében. A válaszunk implicit módon történt, de figyelmen kívül hagytuk. Figyeljük meg, hogy a # (x - pi / 4) # egyszerűen 1? Ezért, hogy megszorozzuk azt, nem változtat semmit, ezért nem írjuk ki a számításokban.

Most mindent összeállítunk:

# d / dx (szekvencia 2x-xcos (x-pi / 4)) = szín (ibolya) (2 sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Nézze meg a jeleket.

Most meg kell találnunk a vonal érintését #f (X) # nál nél #x = (15pi) / 8 #. Ehhez csak hozzáadjuk ezt az értéket #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = szín (lila) (~ ~ -6,79) #

Azonban, amit akarunk, nem az f (x), hanem a vonal érintője Normál hozzá. Ehhez csak a fenti lejtő negatív reciprokját vesszük figyelembe.

#m_ (norm) = -1 / -15.78 szín (lila) (~~ 0.015) #

Most mindent beleillesztünk a pont lejtőbe:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Nézd meg ezt az interaktív grafikont, hogy lássátok, mi ez!

Remélem, hogy segített:)