Mi a (Na ^ 24) felezési ideje, ha egy kutatási asszisztens 160 mg radioaktív nátriumot (Na ^ 24) készített, és megállapította, hogy csak 20 mg maradt 45 órával később?

Válasz:

#color (kék) ("A felezési idő 15 óra.") #

Magyarázat:

Meg kell találnunk az egyenlet egyenletét:

#A (t) = (0) e ^ (kt) #

Hol:

#BB (A (t)) = # az idő utáni összeg.

#BB (A (0) = # az összeg az elején. azaz t = 0.

# BBK = # a növekedési / bomlási tényező.

# BBE = # Euler száma.

# BBT = # ebben az esetben órákban.

Adunk:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Meg kell oldanunk # BBK #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Oszd 160-mal:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Természetes logaritmusok mindkét oldalán:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Ennélfogva:

#ln (1/8) = 45k #

45-ös megosztás:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Mivel definíció szerint a felezési idő az az időszak, amikor a kiindulási összeg fele van:

#A (t) = 80 #

Tehát a következőt kell megoldanunk:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Természetes logaritmusok felvétele:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

A felezési idő 15 óra.

Válasz:

15 óra

Magyarázat:

• Gyors út

A bomló anyag mennyisége felére csökken minden egyes a felezési idő (tehát a név), az összeget a lépésekben felére csökkentve 3 lépés szükséges a 160-tól 20-ig:

• # 160 - 80 - 40 - 20 #

És #45 = 3 * 15#

Tehát a felezési idő 15 év.

• Formálisabb mód

A felezési idő # # Tau, hol # X (t) # a t időpontban maradó mennyiség (részecskék száma / stb.):

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

Így:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

A megadott értékek csatlakoztatása #négyzet#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 azt jelenti, hogy tau = 15 #