Hogyan oldható meg az inte ^ xcosxdx?

Válasz:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Magyarázat:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Az integrációt részekből fogjuk használni, ami azt állítja #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Használja az integrációt alkatrészek segítségével # U = e ^ x #, # du = e ^ x t, # "d" v = cos (x) "d" x #, és # V = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Használja újra az integrációt a második integrálhoz, a # U = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) t, és # V = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Emlékezzünk, mi definiáltuk # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Így a fenti egyenlet a következővé válik (emlékezve arra, hogy az integráció konstansát hozza létre):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I +, C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) +, C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) +, C #

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

A de Moivre identitása

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # nekünk van

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

de #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + izinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

és végül

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #