Hogyan találja meg az (arctan (x)) / (5x) határértéket, mivel x megközelíti a 0-at?

Válasz:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Magyarázat:

Ennek a korlátnak a megállapításához vegye figyelembe, hogy mind a számláló, mind a nevező megy #0# mint #x# megközelít #0#. Ez azt jelenti, hogy határozatlan formát kapunk, így alkalmazhatjuk a L'Hospital szabályát.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

A L'Hospital szabályának alkalmazásával a számláló és a nevező származékát vesszük figyelembe

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Ezt is ellenőrizhetjük a függvény ábrázolásával, hogy egy ötletet kapjunk #x# megközelít.

Grafikonja #arctan x / (5x) #:

grafikon {(arctan x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

Válasz:

Az alábbiakban egy hosszabb megközelítést használnak a triggerek használatával.

Magyarázat:

Csak abban az esetben, ha nem vagy elégedett a L'Hopital szabályával, vagy még nem volt kitéve, a probléma megoldására egy másik megközelítés az arcangangens függvény definíciójának használatával jár.

Emlékezzünk vissza, ha # Tantheta = x #, azután # Téta = arctanx #; ez lényegében azt jelenti, hogy az arctangens a tangens fordítottja. Ezzel az információval létrehozhatunk egy háromszöget, ahol # Tantheta = x # és # Téta = arctanx #:

A diagramból egyértelmű, hogy # Tantheta = x / 1 = X #. Mivel # Tantheta = sintheta / costheta #, ezt kifejezhetjük:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Ezt plusz az a tény, hogy # Téta = arctanx #, a limitben helyettesíthetjük:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Ez egyenértékű:

#lim_ (theta-> 0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) théta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) téta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

Tudjuk #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; így #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / teta) = 1/1 # vagy #lim_ (x-> 0) téta / sintheta = 1 #. És azóta # Cos0 = 1 #, a határérték a következőket értékeli:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) téta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#