A 60 kobalt felezési ideje 5 év. Hogyan szerezhető meg a kobalt 60 exponenciális bomlási modellje Q (t) = Q0e ^ kt formában?

Válasz:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Magyarázat:

Egy differenciálegyenletet állítottunk fel. Tudjuk, hogy a kobalt változásának sebessége arányos a jelenlévő kobalt mennyiségével. Azt is tudjuk, hogy ez egy bomlásmodell, így lesz negatív jel:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Ez egy szép, egyszerű és elkülöníthető különbség:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# azt jelenti, hogy ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Emelje fel mindkét oldalt exponenciálisan:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Most, hogy ismerjük az általános formát, ki kell dolgoznunk # K # van.

Hagyja, hogy a felezési időt jelölje # # Tau.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#hogy 1/2 = e ^ (- ktau) #

Természetes naplók készítése mindkét oldalról:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

A tisztaság érdekében írja át #ln (1/2) = -ln (2) #

#Ezért k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) év ^ (- 1) #

#Ezért Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #