Mekkora az f (theta) = theta-thetasin ((7theta) / 8) -kos ((5theta) / 3 + pi / 3) poláris görbe alatti terület [pi / 6, (3pi) / 2] felett?

Válasz:

#color (piros) ("A terület" = 25.303335481 "" "négyzetegység") #

Magyarázat:

Polárkoordináták esetén az A terület képlete:

Adott # r = theta-teta * sin ((7theta) / 8) -kos ((5theta) / 3 + pi / 3) #

# A = 1/2 int_alpha ^ béta r ^ 2 * déta

# A = 1/2 int_ (pi / 6) ^ ((3pi) / 2) (theta-teta * sin ((7theta) / 8) -kos ((5theta) / 3 + pi / 3)) ^ 2 d theta #

# A = 1/2 int_ (pi / 6) ^ ((3pi) / 2) teta ^ + theta ^ 2 * sin ^ 2 ((7theta) / 8) + cos ^ 2 ((5theta) / 3 + pi / 3) #

# -2 * téta ^ 2 * sin ((7theta) / 8) + 2 * theta * cos ((5theta) / 3 + PI / 3) * sin ((7theta) / 8) ## -2 * theta * cos ((5theta) / 3 + pi / 3) teta #

Néhány trigonometrikus transzformáció és részek szerinti integráció után következik

# A = 1/2 théta ^ 3/3 + théta ^ 3 / 6-2 / 7 * théta ^ 2 * sin ((7theta) / 4) -16 / 49 * A théta * cos ((7theta) / 4) + 64/343 * sin ((7theta) / 4) + téta / 2 + 3 /: 20 * sin ((10theta) / 3 + (2pi) / 3) #

# + 16/7 * théta ^ 2 * cos ((7theta) / 8) -256/49 * théta * sin ((7theta) / 8) -2048/343 * cos ((7theta) / 8) -24/61 * theta * cos ((61theta) / 24 + PI / 3) + 576/3721 * sin ((61theta) / 24 + PI / 3) #

# + 24/19 * théta * cos ((19theta) / 24 + PI / 3) -576 / 361 * sin ((19theta) / 24 + PI / 3) ## -6/5 * théta * sin ((5theta) / 3 + PI / 3) -18 / 25 * cos ((5theta) / 3 + PI / 3) _ (pi / 6) ^ ((3pi) / 2) #

# A = 1/2 * 43,22026786 - (- 7,386403099) #

# A = 1/2 * (50,60667096) #

#color (piros) ("A terület" = 25.303335481 "" "négyzetegység") #

Isten áldja …. Remélem, a magyarázat hasznos.