K egy valós szám, amely kielégíti a következő tulajdonságot: "minden 3 pozitív számhoz, a, b, c; ha a + b + c K, akkor abc K" Megtalálható a K legnagyobb értéke?

Válasz:

# K = 3sqrt (3) #

Magyarázat:

Ha teszünk:

# a = b = c = K / 3 #

Azután:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

Így:

# K ^ 2 <= 27 #

Így:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

Ha van # A + b + c <= 3sqrt (3) # akkor elmondhatjuk, hogy ez az ügy # A = b = c = sqrt (3) # megadja a maximális lehetséges értéket #ABC#:

Például, ha javítunk #c (0, 3sqrt (3)) # és hagyd #d = 3sqrt (3) -c #, azután:

# a + b = d #

Így:

#abc = a (d-a) c #

#color (fehér) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (fehér) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (fehér) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

amely maximális értékkel rendelkezik, amikor # A = d / 2 # és # B = d / 2 #, ez az, amikor # A = b #.

Hasonlóképpen, ha javítunk # B #, akkor megtaláljuk a maximumot # A = c #.

Ezért a maximális érték #ABC# akkor érhető el, amikor # A = b = c #.

Így # K = 3sqrt (3) # a maximális lehetséges érték # A + b + c # oly módon, hogy #abc <= K #