Ez egy általánosított eset trigonometrikus bizonyítéka, a kérdés a részletek mezőben van?

Válasz:

Alább az indukcióval bizonyított.

Magyarázat:

Igazoljuk ezt az identitást indukcióval.

A. Mert # N = 1 # ezt meg kell vizsgálnunk

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Valójában az identitás használata #cos (2 théta) = 2cos ^ 2 (théta) -1 #, ezt látjuk

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (théta) -1) * (2cos (théta) +1) #

ebből következik

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Így # N = 1 # identitásunk igaz.

B. Tegyük fel, hogy az identitás igaz # N #

Tehát feltételezzük, hogy

# (2cos (2 ^ neta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j a 0, n-1) 2cos (2 ^ jeta) -1 #

(szimbólum # # Pi terméket használnak)

C. A fenti B feltételezést használva bizonyítsuk meg a személyazonosságot # N + 1 #

Bizonyítanunk kell, hogy a B feltételezésből következik

# (2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j 0, n) 2cos (2 ^ jeta) -1 #

(Figyeljük meg, hogy a szorzás indexének megfelelő határa van # N # Most).

BIZONYÍTÉK

Identitás használata #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # mert # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ neta) +1 #

Osztja el a kezdő és a záró kifejezéseket # 2cos (théta) +1 #, egyre

# 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ neta) -1 * 2cos (2 ^ neta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Most B feltételezést használunk

# 2cos (2 ^ (n + 1) teta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ neta) -1 * Pi _ (j a 0, n-1 -nél) 2cos (2 ^ jeta) -1 = #

# = Pi _ (j 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Megjegyzem, a tartomány index most kiterjesztették # N #).

Az utolsó képlet pontosan ugyanaz # N + 1 # mint az eredeti # N #. Ez kiegészíti az indukciós bizonyítékot, hogy a képletünk igaz # N #.

Válasz:

Lásd a Bizonylat az alábbi fejezetben.

Magyarázat:

Ez egyenértékű annak bizonyítására, hogy

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "A L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) X-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) X-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) X-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) X-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) X-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) X-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) X-1) #

# # Vdots

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) X) +1)} #

# = (2cos2 ^ NX + 1) #

# = "az R.H.S."

Élvezze a matematikát!