Egy pozitív egész szám 3 kisebb, mint egy másik. A négyzetek összege 117. Melyek az egészek?

Válasz:

#9# és #6#

Magyarázat:

Az első néhány pozitív egész négyzete a következő:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Az egyetlen, akinek összege #117# vannak #36# és #81#.

Ezek a feltételek a következők:

#COLOR (kék) (6) * 2-3 = szín (kék) (9) #

és:

#color (kék) (6) ^ 2 + szín (kék) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Tehát a két egész szám #9# és #6#

Hogyan találhattuk volna ezeket hivatalosan?

Tegyük fel, hogy az egészek # M # és # N #, val vel:

#m = 2n-3 #

Azután:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Így:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (fehér) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (fehér) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (fehér) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (fehér) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (fehér) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (fehér) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Ennélfogva:

#n = 6 "" # vagy # "" n = -18 / 5 #

Csak a pozitív egész számokat érdekli, így:

#n = 6 #

Azután:

#m = 2n-3 = 2 (szín (kék) (6)) - 3 = 9 #