Válasz:
A három gyökér # x = -3 / 2, 1, 3/2 #
Megjegyzés: Nem találom a hosszú megosztási szimbólumot, így a négyzetgyök szimbólumát használom.
Magyarázat:
#f (x) = 4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9 #
#f (1) = 4 * 1 ^ 3-4 * 1 ^ 2-9 * 1 + 9 = 4-4-9 + 9 = 0 #
Ez azt jelenti, hogy x = 1 egy gyökér és # (X-1) # ennek a polinomnak a tényezője.
Meg kell találnunk a többi tényezőt, ezt az f (x) megosztásával végezzük # (X-1) # más tényezőket találni.
# {4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9} / {x-1} #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
Mivel # (X * 4x ^ 2) = 4x ^ 3 # kapunk # 4x ^ 2 # a tényezőben
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
meg kell találnunk a fennmaradó részt, hogy megtaláljuk, mire van szükség.
csináljuk # 4x ^ 2 * (x-1) = 4x ^ 3-4x ^ 2 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 3-4x ^ 2 #
Ezt a 0-at kapjuk
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ## # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 #
ez a nulla azt jelenti, hogy nincs lineáris kifejezés, és a következő feltételeket vesszük le.
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# X * -9 = -9x # így a következő kifejezés #-9#
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# -9 * (x-1) = - 9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (- 9x + 9)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4x ^ 2 + 0 x -9 #
# (X-1) sqrt (4x ^ 3-4x ^ 2-9x + 9) #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (4x ^ 3-4x ^ 2)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 0x ^ 3-0x ^ 2 # # -9x + 9 #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #ul {- (- 9x + 9)} #
# # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #0#
Így # (x-1) (4x ^ 2 -9) # emlékeztető nélkül (ezt a bővítéssel ellenőrizheti). Ezt teljesen meg kell vizsgálnunk.
# (4x ^ 2 -9) # a négyzetek és a tényezők közötti különbség # (2x-3) * (2x + 3) #
Nekünk van # (x-1) * (2x-3) * (2x + 3) = 0 #
# 2x-3 = 0 # gyökeret ad nekünk # X = 3/2 # és # 2x + 3 = 0 # gyökeret ad nekünk # X = -3/2 #
A gyökerek # x = -3 / 2, 1, 3/2 #
