Hogyan találja meg a cos 2pi / 5 pontos értékeit?

Hogyan találja meg a cos 2pi / 5 pontos értékeit?
Anonim

Válasz:

#cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #

Magyarázat:

Itt a legelegánsabb megoldás:

math.stackexchange.com/questions/7695/how-to-prove-cos-frac2-pi-5-frac-1-sqrt54

#cos (4pi / 5) = cos (2pi-4pi / 5) = cos (6pi / 5) #

Tehát, ha # x = 2pi / 5 #:

#cos (2x) = cos (3x) #

A cos (2x) és cos (3x) helyettesítése általános képleteikkel:

#color (piros) (cos (2x) = 2cos ^ 2x-1 és cos (3x) = 4cos ^ 3x-3cosx) #, kapunk:

# 2cos ^ 2x-1 = 4cos ^ 3x-3cosx #

cseréje # # Cosx által # Y #:

# 4Y ^ 3-2y ^ 2-3y-1 = 0 #

# (Y-1) (4Y ^ 2 + 2y-1) = 0 #

Tudjuk #Y! = 1 #, így megoldanunk kell a négyzetes részt:

#Y = (- 2 + -sqrt (2 ^ 2-4 * 4 * (- 1))) / (2 * 4) #

#Y = (- 2 + -sqrt (20)) / 8 #

mivel #Y> 0 #, # Y = cos (2pi / 5) = (- 1 + sqrt (5)) / 4 #