Mi a terület egy trapéz, amelynek átlói mindegyike 30 és amelynek magassága 18?

Válasz:

#S_ (trapéz) = 432 #

Magyarázat:

Tekintsük az 1. ábrát

Az ABCD trapézban, amely kielégíti a probléma feltételeit (ahol # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, és AB párhuzamos a CD-vel) észleljük, hogy az Alternate Interior Angles Theemem alkalmazásával # Alpha = Delta # és # Beta = gamma #.

Ha két vonalat rajzolunk az AB szegmensre merőlegesen, amelyek AF és BG szegmenseket képeznek, azt láthatjuk #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (mivel mindkét háromszög helyes, és tudjuk, hogy az egyik hipotenészete megegyezik a másik hypotenuse-jével, és hogy az egyik háromszög lába egyenlő a másik háromszög lábával), majd # Alfa = béta # => # Gamma = delta #.

Mivel # Gamma = delta # láthatjuk ezt #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # és # AD = BC #ezért a trapéz egyenesek.

Láthatjuk azt is #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (vagy # X = y # a 2. ábrán).

Tekintsük a 2. ábrát

Láthatjuk, hogy a 2. ábrán látható trapéz alakú forma más, mint az 1. ábrán látható, de mindkettő kielégíti a probléma feltételeit. Bemutattam ezt a két számot, hogy megmutassam, hogy a probléma adatai nem teszik lehetővé az alap 1 méretének meghatározását (# M #) és a 2. bázis (# N #) A trapéz kialakítása, de látni fogjuk, hogy nincs szükség további információra a trapéz alakú terület kiszámításához.

Ban ben #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (X + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # X + m = 24 #

Mivel # N = m + x + y # és # X = y # => # N = m + 2 * X # és # M + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # M + n = 48 #

#S_ (trapéz) = (base_1 + base_2) / 2 * magasság = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Megjegyzés: megpróbáltuk meghatározni m és n a két egyenlet konjugálása:

Ban ben #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

Ban ben #triangle_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # mert #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

De ezt a két egyenletrendszert megoldva csak azt fedeznénk fel m és az oldal HIRDETÉS határozatlanok.