Hogyan írsz egy minimális fokozatú polinomot normál formában valós tényezőkkel, amelyek nullái -3,4 és 2-i?

Válasz:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) # val vel #aq az RR-ben.

Magyarázat:

enged # P # legyen a polinom, amiről beszélsz. Feltételezem #P! = 0 # vagy triviális lenne.

A P-nek valódi együtthatója van #P (alfa) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Ez azt jelenti, hogy van egy másik gyökér P, #bar (2-i) = 2 + i #, ezért ez az űrlap # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # val vel #a_j NN #, #Q az RR-ben X # és #a az RR-ben mert akarunk # P # valódi együtthatókra van szükség.

Azt akarjuk, hogy a fok # P # a lehető legkisebb legyen. Ha # R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # azután #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = összeg (a_j + 1) + fok (Q) #. #Q! = 0 # így #deg (Q)> = 0 #. Ha akarjuk # P # akkor a legkisebb mértékű lehet #deg (Q) = 0 # (# Q # csak egy valós szám # Q #), ennélfogva #deg (P) = deg (R) # és itt azt is mondhatjuk #P = R #. #deg (P) # a lehető legkisebb lesz, ha mindegyik #a_j = 0 #. Így #deg (P) = 4 #.

Tehát most #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X-2 + i) (X-2-i) q #. Fejlesszük ezt.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4 + 5) az RR-ben X #. Tehát ez a kifejezés a legjobb # P # megtaláljuk ezeket a feltételeket!