Válasz:
Ellenőrizze az alábbiakban a választ
Magyarázat:
mert # X = 0 # nekünk van
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Új funkciót tekintünk #G (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #x##ban ben## RR #
#G (0) = 0 #, #G '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #x##ban ben## RR #
Ennek eredményeként # G # növekszik # RR #. Így azért, mert szigorúan növekszik # G # is "#1-1#" (1-1)
Így, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #G (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Ezt meg kell mutatnunk # X / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (F (x) -f (0)) / (X-0) <##f '(x) #
- # F # folyamatos # 0, x #
- # F # differenciálható # (0, X) #
Az átlagérték-tétel szerint van # # X_0#ban ben## (0, X) #
amelyekre #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (X-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #x##ban ben## RR # így
megkülönböztetve mindkét részt
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
A funkció # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # differenciálható. Ennek eredményeként # F '# differenciálható és # F # 2-szer megkülönböztethető
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (F '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #x##ban ben## RR #
-> # F '# szigorúan növekszik # RR # ami azt jelenti
# # X_0#ban ben## (0, X) # #<=># #0<## X_0 <##x# #<=>#
#f '(0) <##f "(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
# X / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
