# 27939. Kérdés

Válasz:

Ahogy Sudip Sinha rámutatott # -1 + sqrt3i # NEM nulla. (Elhanyagoltam, hogy ellenőriztem.) A többi nulla # 1-sqrt3 i # és #1#.

Magyarázat:

Mivel az összes együttható valós szám, minden képzeletbeli nullának konjugált párokban kell történnie.

Ebből adódóan, # 1-sqrt3 i # nulla.

Ha # C # akkor nulla # Z-C # tényező, így sokszorosíthatnánk

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # eljutni # Z ^ 2-2z + 4 #

majd osztjuk #P (z) # ezzel a négyzetes értékkel.

De gyorsabb megvizsgálni a lehetséges racionális nullát # P # első. Vagy add meg az együtthatókat, hogy ezt láthassuk #1# nulla is.

Válasz:

#1# és # 1 - sqrt3 i #

Magyarázat:

Hiba van a kérdésben. A gyökérnek kell lennie # 1 + sqrt3 i #. Ezt az értéket a kifejezésben ellenőrizheti. Ha ez egy gyökér, akkor a kifejezésnek nullára kell értékelnie.

A kifejezésnek minden valós együtthatója van, így a Complex Conjugate Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) szerint a másik összetett gyökér # 1 - sqrt3 i #, Nyilvánvaló, hogy a harmadik gyökér (mondjuk # A #) valódinak kell lennie, mivel nem tartalmazhat komplex konjugátumot; különben 4 gyökér lesz, ami nem lehetséges egy harmadik fokozatú egyenletnél.

jegyzet

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Mivel # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Megpróbáljuk ezt a tényezőt elérni a kifejezésben.

Írhatunk:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Válasz:

Intro-ként úgy gondolom, hogy a gyökérnek kell lennie #COLOR (kék) (1 + sqrt3) # és nem #COLOR (piros) (- 1 + sqrt3) #

Ezen az alapon a válaszom:

#z {1, "1 + sqrt3," "1-sqrt3} #

Magyarázat:

Az ötlet felhasználásával komplex konjugátumok és más hűvös trükkök.

#P (z) # a fokozat polinomja #3#. Ez azt jelenti, hogy ez csak #3# gyökereit.

Az összetett gyökerek egyik érdekes ténye, hogy soha nem fordulnak elő egyedül konjugált párok.

Tehát, ha # 1 + isqrt3 # egy gyökér, majd a konjugátum: # 1-isqrt3 # minden bizonnyal gyökér is!

És mivel még csak egy gyökér maradt, ezt a gyökeret hívhatjuk # Z = a #.

Ez nem egy komplex szám, mert a komplex gyökerek mindig párban fordulnak elő.

És mivel ez az utolsó az #3# gyökerek, az első után nem lehet más pár!

A végén a tényezők #P (z) # könnyen megtalálhatók voltak # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "és" (z-a) #

Megjegyzés: Ne feledje, hogy a gyökér és a tényező közötti különbség az, hogy:

- Egy gyökér lehet # Z = 1 + i #

De a megfelelő tényező lenne # Z- (1 + i) #

A második trükk az, hogy faktoring segítségével #P (z) # ilyet kell kapnunk:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Ezután bontsa ki a zárójeleket, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + Z (2a + 4) -4a #

Ezután ezt az eredeti polinomhoz hasonlítjuk #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6Z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + Z (-2a + 4) 4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6Z-4 #

Mivel a két polinom azonos, megegyezünk a # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #és # Z ^ 0 #(az állandó kifejezés) mindkét oldalon,

Valójában csak egy egyenletet kell választanunk és megoldanunk # A #

Az állandó kifejezések megegyezése, # => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

Ezért az utolsó gyökér #COLOR (kék) (Z = 1) #