Egy egyenlő oldalú háromszögbe írt kör sugara 2. Mi a háromszög kerülete?

Válasz:

A kerület egyenlő # 12sqrt (3) #

Magyarázat:

Számos módja van ennek a problémának a kezelésére.

Itt van az egyikük.

A háromszögbe beillesztett kör középpontja a szögek bisectorjainak metszéspontján helyezkedik el. Az egyenlő oldalú háromszög esetében ez ugyanaz a pont, ahol a magasságok és a mediánok is metszenek.

Bármilyen medián megoszlik egy másik mediánnal való metszésponttal arányban #1:2#. Ezért a szóban forgó egyenlő oldalú háromszög mediánja, magassága és szögfelvevői egyenlőek

#2+2+2 = 6#

Most használhatjuk a Pythagorean-tételt, hogy megtaláljuk a háromszög egyik oldalát, ha ismerjük annak magasságát / medián / szögbisszektorát.

Ha egy oldal van #x#, Pythagorean-tételből

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Ebből:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

A kerület három ilyen oldalnak felel meg:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Válasz:

A kerület egyenlő # 12sqrt (3) #

Magyarázat:

Alternatív módszer az alábbiakban.

Tegyük fel, hogy egyenlő oldalú háromszögünk #Delta ABC # és egy beírt kör közepe # O #.

Rajzolj egy medián / magasságot # A # keresztül # O # addig, amíg metszi az oldalt #IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT# pontban # M #. Magától értetődően, # OM = 2 #.

Fontolja meg a háromszöget #Delta OBM #.

ez jobb mivel #OM_ | _BM #.

Szög # / _ OBM = 30 ^ o # mivel # # BO egy szögfelbontó #/_ABC#.

Oldal # # BM fél oldala #IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT# mivel # # AM medián.

Most megtaláljuk # # OB hipotenuszként egy jobb háromszögben, egy akut szöggel # 30 ^ o # és a katétával ellentétes #2#. Ez a hypotenuse kétszer olyan hosszú, mint ez a katetus #4#.

Hipotenézis # # OB és katétus # # OM, találj egy másik katétát # # BM Pythagorean Tétel:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Ebből adódóan,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Kerület van

# 3 * BC = 12sqrt (3) #