Hogyan integrálhatja az int sec ^ -1x-et részegység módszer szerint?

Válasz:

A válasz # = X "ARC" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) +, C #

Magyarázat:

Szükségünk van

# (Sec ^ -1x) '= ("ARC" secx)' = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

A részek integrálása

# Intu'v = UV-intuv '#

Itt van

# U '= 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "arc" secx #, #=>#, # V '= 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

Ebből adódóan, #int "ARC" secxdx = x "ARC" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) #

Végezze el a második integrát helyettesítéssel

enged # X = Secu #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = Int (Secu (Secu + tanu) du) / (Secu + tanu) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

enged # V = Secu + tanu #, #=>#, # Dv = (szek ^ 2u + secutanu) du #

Így, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (DV) / (v) = LNV #

# = Ln (Secu + tanu) #

# = Ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Végül, #int "ARC" secxdx = x "ARC" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) +, C #

Válasz:

#int s ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Magyarázat:

Alternatív megoldásként használhatunk egy kevéssé ismert formulát az inverz függvények integráljának kidolgozásához. A képlet szerint:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

hol # F ^ -1 (x) # az inverz #f (X) # és #F (X) # a #f (X) #.

Esetünkben:

#int s ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Most minden, amire szükségünk van, az anti-származék # F #, amely az ismert ismerős integrátor:

#int s (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

A visszaállítás a képletbe végső választ ad:

#int s ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Gondoskodnunk kell az egyszerűsítésről #tan (sec ^ -1 (x)) # nak nek #sqrt (x ^ 2-1) # mert az identitás csak akkor érvényes, ha #x# pozitív. Szerencsés vagyunk, mert ezt a logaritmuson belüli másik kifejezés abszolút értékével állíthatjuk be. Ezzel megszűnik az első abszolút érték szükségessége is, mivel a logaritmuson belül minden mindig pozitív lesz:

# Xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) +, C #