Válasz:
# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #
Magyarázat:
Tehát itt van az integrál:
#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
Úgy tűnik, hogy a kvadratikus kölcsönösség formája azt sugallja, hogy a trigonometrikus helyettesítés itt fog működni. Tehát először töltse ki a négyzetet, hogy:
# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #
Ezután alkalmazza a helyettesítést #u = x-1 # a lineáris eltávolítása:
# (du) / dx = 1 #
#rArr du = dx #
Tehát biztonságosan megváltoztathatjuk a nem kívánt mellékhatások nélküli változókat:
#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #
# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #
Ez az ideális forma trigonometrikus helyettesítés végrehajtásához; # u ^ 2 + 1 # javasolja a pythagorai identitást # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, így alkalmazzuk a helyettesítést #u = tantheta # a nevező egyszerűsítése:
# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #
#rArr du = sec ^ 2 théta déta #
Így az integrál:
#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * sec ^ 2 theta déta
# = int 1 / (sec ^ 2 theta) déta #
# - = int cos ^ 2 théta déta #
Most a kettős szögű képletet használjuk #kötözősaláta# hogy ez az antideriváns jobban kezelhető legyen:
#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #
#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #
Ezután tedd azt az integrálba:
# 1/2 int cos (2 theta) + 1 déta-teta
# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (és újra megnyitja ezt a kettős szögű képlettel #bűn#)
# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #
Most, # x-1 = u = tan theta #
#rArr theta = arctan (x-1) #
# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #
#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #
#sin theta = tan theta * cos theta #
#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #
#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #
Végül a pont elérése:
#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #
# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #
