Négy téglalap alakú, h magasságú tetejére r-es sugarú és h magasságú félhenger tető van. Ennek a szerkezetnek a felépítéséhez 200 μm 2 műanyag lap van. Mi az r értéke, amely lehetővé teszi a maximális hangerőt?

Válasz:

# R = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Magyarázat:

Hadd ismételjem meg a kérdést, ahogy értem.

Feltéve, hogy ennek az objektumnak a felülete # # 200pi, maximalizálja a hangerőt.

Terv

Ismerve a felületet, magasságot képviselhetünk # H # a sugár függvényében # R #, akkor a térfogatot csak egy paraméter - sugár # R #.

Ezt a funkciót maximalizálni kell # R # paraméterként. Ez adja az értéket # R #.

A felszíni terület tartalmazza:

4 fal, amely egy párhuzamosan elrendezett egy bázis peremével ellátott oldalfelületet alkot # # 6r és magasság # H #, amelyek teljes területe # # 6rh.

1 tető, egy sugarú oldalhenger oldalfelülete # R # és magasság # R #, melynek területe #pi r ^ 2 #

A tető 2 oldala, sugárú félkör # R #amelynek teljes területe #pi r ^ 2 #.

Az objektum teljes felületi területe

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Tudván, hogy ez egyenlő # # 200pi, kifejezhetjük # H # szempontjából # R #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

Ennek az objektumnak a térfogata két részből áll: a tető alatt és a tetőn belül.

A tető alatt a bázis területével párhuzamosan van elhelyezve # 2r ^ 2 # és magasság # H #, vagyis a kötet

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

A tetőn belül félhengeres sugár van # R # és magasság # R #, a kötet

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

A funkciót maximalizálni kell

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

ami így néz ki (nem méretarányos)

grafikon {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Ez a függvény eléri a maximális értékét, ha a derivatív értéke nulla, pozitív érv.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Valaminek a területén #r> 0 # nulla, ha # R = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Ez az a sugár, amely a legnagyobb térfogatot adja meg, figyelembe véve egy tárgy felületét és alakját.