Válasz:
Nem hiszem, hogy az egyenlet érvényes. Feltételezem #abs (z) # az abszolút érték függvény
Magyarázat:
Próbáljon meg két kifejezést, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Ennélfogva
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Talán az összetett számok háromszög egyenlőtlenségét jelenti:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Ezt rövidíthetjük
# | sum z_i | le sum | z_i | #
ahol az összegek vannak #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # szöveg {Re} (z) le | z | #
Az igazi rész soha nem nagyobb, mint a nagyság. enged # Z = x + iy # valódi #x# és # Y #. Tisztán # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # és szögletes gyökereket # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. A nagyság mindig pozitív; #x# lehet, vagy nem; mindkét esetben soha nem több, mint a nagyság.
A konjugátumhoz használom a overbar-t. Itt van egy valós számunk, a négyzet nagysága, ami megegyezik a konjugátumok termékével.A trükk az, hogy megegyezik a saját valódi részével. Az összeg valódi része a valódi részek összege.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = szöveg {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i szöveg {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
A lemma segítségével, és a termék nagyságrendje, és a konjugátumok nagysága egyenlő,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Az összeg nagyságának egy tényezőjét törölhetjük # | sum z_i | #, ami pozitív, megőrizve az egyenlőtlenséget.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Ezt akartuk bizonyítani.
