Megoldom a axet ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Válasz:

Gyors vázlat …

Magyarázat:

Adott:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # val vel #a! = 0 #

Ez elég gyorsan zavarodik, így csak egy módszert adok egy módszerről …

Szorozva # 256a ^ 3 # és helyettesítsd #t = (4ax + b) # depressziós monikvizet kap

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Ne feledje, hogy mivel ebben a kifejezésben nincs szó # T ^ 3 #, a következő formában kell lennie:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (fehér) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Az együtthatók kiegyenlítése és egy kis átrendeződés:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Szóval:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (fehér) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (fehér) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Szorzás, szorzás # A ^ 2 # és kissé átrendeződik, ez lesz:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Ez a köbméter # A ^ 2 #"legalább egy valódi gyökere van. Ideális esetben egy pozitív valós gyökere van, amely két lehetséges valós értéket eredményez # A #. Függetlenül attól, hogy a kölyök gyökerei megtörténnek.

Tekintettel az értékre # A #, nekünk van:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Ezért két kvadratikus megoldást kapunk.