A sebesség függvény v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 egy vonal mentén mozgó részecske esetén. Mi a részecske elmozdulása (nettó távolság) az időintervallumban [-3,6]?

Válasz:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Magyarázat:

A sebesség görbe alatti terület megegyezik a lefedett távolsággal.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (fehér) ("X") dt #

# = - 1 / 3T ^ 3 + 3 / 2T ^ 2-2t | _color (kék) ((- 3)) ^ színű (piros) (6) #

# = (szín (piros) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (szín (kék) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Válasz:

Az eredeti kérdés egy kicsit zavaros, mivel azt jelenti, hogy az elmozdulás és a távolság ugyanaz, amit nem.

Az alábbiakban felsorolt minden egyes esetre beillesztettem a szükséges integrációt.

Magyarázat:

Teljes távolság (a tényleges útvonalhosszúságú skalármennyiséget) a részleges integrálok összege adja meg

# X = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3T-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3T-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Teljes elmozdulás (a mozgás kezdetétől a végéig vett egyenes vonalat képviselő vektormennyiséget) a következő integrál adja meg

# | Vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3T-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

A sebesség függvény időbeli grafikonja világossá teszi, hogy miért kell ezeket az integrálokat beállítani a vektorszabályok betartásához és a definíciók teljesítéséhez.

grafikon {-x ^ 2 + 3x-2 -34.76, 38.3, -21.53, 14.98}