Hogyan integrálhatom ezt?

Válasz:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) +, C #

Magyarázat:

Meg akarjuk oldani

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = porcelán ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Lehetővé teszi az általánosabb problémát

# I_1 = porcelán ^ (ax) cos (bx) dx #

Hol keresünk megoldást

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) +, C #

A trükk az, hogy az integrációt kétszer használja

# Intudv = UV-intvdu #

enged # U = e ^ (ax) # és # Dv = cos (bx) dx #

Azután # Du = ae ^ (ax) dx # és # V = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / lehet ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Alkalmazza az integrációt a többi integrálhoz

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

enged # U = e ^ (ax) # és # Dv = sin (bx) dx #

Azután # Du = ae ^ (ax) dx # és # V = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / lehet ^ (ax) cos (bx) + a / binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Helyezze ezt az eredeti integrálba, és oldja meg # # I_1, ez egy kicsit hosszú, de lépésről lépésre

# I_1 = 1 / lehet ^ (ax) sin (bx) - (- / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / lehet ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / lehet ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) +, C #

# (A ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / lehet ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) +, C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / lehet ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) +, C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (lehet ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) +, C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) +, C #

A problémád miatt # A = ln (2) # és # B = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) +, C #

Remélhetőleg nincs sok hiba

Lásd az alábbi választ: az általános megfogalmazás helyett diszkrét elemekkel oldottunk meg, és nem egyszerűsítettük a végeredményt, az alábbiak szerint: