Mi az f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) inverze?

Válasz:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Magyarázat:

Feltételezve, hogy foglalkozunk # # Log_3 mint valós értékű függvény és inverz # 3 ^ x #, majd a #f (X) # jelentése # (3, oo) #, mivel szükségünk van rá #x> 3 # annak érdekében # Log_3 (X-3) # meghatározni.

enged #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Azután:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Így:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Így:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Így:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

Valójában a pozitív négyzetgyöknek kell lennie, mivel:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Így:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Ennélfogva:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #