Bizonyítsuk be, hogy a cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx = cot (x / 8) -cotx?

# LHS = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + cosecx + cotx-cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + szín (kék) 1 / sinx + cosx / sinx -cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + szín (kék) (1 + cosx) / sinx -cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + szín (kék) (2cos ^ 2 (x / 2)) / (2sin (x / 2) cos (x / 2)) - cotx #

# = cosec (x / 4) + cosec (x / 2) + szín (kék) (cos (x / 2) / sin (x / 2)) - cotx #

# = cosec (x / 4) + szín (zöld) (cosec (x / 2) + cot (x / 2)) - cotx #

#color (magenta) "Hasonlóan működik, mint korábban" #

# = COSEC (x / 4) + (zöld) gyermekágy (x / 4) -cotx #

# = Gyermekágy (x / 8) -cotx = RHS #

Válasz:

Kedvesen menjen át a Bizonyíték megadott Magyarázat.

Magyarázat:

Beállítás # X = 8Y #, nekünk van bizonyítani

# Cosec2y + cosec4y + cosec8y = coty-cot8y #.

Figyelje meg, hogy # Cosec8y + cot8y = 1 / (sin8y) + (cos8y) / (sin8y) #, # = (1 + cos8y) / (sin8y) #, # = (2cos ^ 2 4y) / (2sin4ycos4y) #, # = (Cos4y) / (sin4y) #.

# "Így" "cosec8y + co8y = cot4y = kiságy (1/2 * 8y) …….. (csillag) #.

hozzátéve, # # Cosec4y, # Cosec4y + (cosec8y + co8y) = cosec4y + cot4y #,

# = kiságy (1/2 * 4y) ……… mert, (csillag) #.

#:. cosec4y + cosec8y + co8y = cot2y #.

Re-hozzátéve # # Cosec2y és újbóli felhasználása #(csillag)#, # Cosec2y + (cosec4y + cosec8y + co8y) = cosec2y + cot2y #, # = Gyermekágy (1/2 * 2Y) #.

#:. cosec2y + cosec4y + cosec8y + co8y = coty, azaz #

# cosec2y + cosec4y + cosec8y = coty-cot8y #, a kívántaknak megfelelően!

Válasz:

Egy másik megközelítés, amiről úgy tűnik, korábban tanultam tisztelt uram dk_ch.

Magyarázat:

# RHS = gyermekágy (x / 8) -cotx #

# = Cos (x / 8) / sin (x / 8) -cosx / sinx #

# = (Sinx * cos (x / 8) -cosx * sin (x / 8)) / (sinx * sin (x / 8)) #

# = Sin (x-x / 8) / (sinx * sin (x / 8)) = sin ((7x) / 8) / (sinx * sin (x / 8)) #

# = (2sin ((7x) / 8) * cos (x / 8)) / (2 * sin (x / 8) * cos (x / 8) * sinx) #

# = (Sinx + sin ((3x) / 4)) / (sinx * sin (x / 4)) = megszünteti (sinx) / (megszünteti (sinx) * sin (x / 4)) + (2sin ((3x) / 4) * cos (x / 4)) / (sinx * 2 * sin (x / 4) * cos (x / 4)) #

# = COSEC (x / 4) + (sinx + sin (x / 2)) / (sinx * sin (x / 2)) = cosecx + COSEC (x / 2) + coesc (x / 4) = LHS #