Hogyan találja meg a teljesítménysorozat reprezentációját az (arctan (x)) / (x) számára és mi a konvergencia sugara?

Válasz:

Integrálja a. T #arctan (X) # majd osztja meg #x#.

Magyarázat:

Ismerjük a hatalmi sorozat reprezentációját # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # oly módon, hogy #absx <1 #. Így # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Tehát a hatalmi sorozat #arctan (X) # jelentése #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = összeg_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Megosztod #x#, megtudod, hogy a #arctan (x) / x # jelentése #sum_n ((- 1) ^ N) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Mondjuk #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Annak érdekében, hogy meg lehessen találni ennek a hatalmi sorozatnak a konvergencia sugarát, értékeljük #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Tehát, ha azt szeretnénk, hogy a hatalmi sorozat konvergáljon, szükségünk van rá #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, így a sorozat konvergál, ha #absx <1 #, ami nem meglepő, hiszen ez a teljesítménysorozat konvergencia sugara #arctan (X) #.