Válasz:
Nincsenek megoldások # RR #.
Magyarázat:
Először is, egy kicsit egyszerűsítsük:
Mint # E ^ x # és #ln (X) # fordított funkciók, # e ^ ln (x) = x # valamint a #ln (e ^ x) = x #. Ez azt jelenti, hogy egyszerűsítheti harmadik logaritmikus kifejezését:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
A következő cél az, hogy az összes # # Log ugyanazzal a bázissal működik, így lehetősége van arra, hogy logaritmus szabályokat alkalmazzon és egyszerűsítse.
A logaritmus alapját az alábbiak szerint módosíthatja:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Használjuk ezt a szabályt a bázis megváltoztatásához #8# nak,-nek # # Log_8 és az alap #32# nak,-nek # # Log_32 alapul #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Most kiszámíthatjuk # log_2 (8) = 3 # és # log_2 (32) = 5 #
(abban az esetben, ha nem világos, hadd bontjam le, hogy biztos legyen: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Ez a következő, egyszerűbb, logaritmikus egyenlethez vezet:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… többszöröse mindkét oldalt #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Most már készen állunk a logaritmus szabályainak használatára:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # és #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
A cél az, hogy csak egy legyen # # Log a bal oldalon. Csináljuk.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
Ezen a ponton megszabadulhatunk a # Log_2 (a) # az inverz függvény alkalmazásával # 2 ^ a # az egyenlet mindkét oldalára.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Sajnos el kell ismernem, hogy ebben a pillanatban beragadtam, mivel nem tudom, hogyan kell megoldani ezt az egyenletet.
Azonban a rajzolás #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # azt mondja, hogy ez az egyenlet nem tartalmaz megoldást # RR #.
grafikon {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Remélem, hogy ez segített egy kicsit!
