Válasz:
# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #
Magyarázat:
Adunk:
# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #
használata #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:
# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #
használata #ln (a ^ b) = bln (a) #:
# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #
használata #ln (e) = 1 #:
# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #
A frakció felosztása (# x / x = 1 #):
# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #
Az összegzett integrálok elválasztása:
# = Int # #ln (x) / xdx + t
A második integrál egyszerűen #x + C #, hol # C # tetszőleges állandó. Az első integrált, amit használunk # U #-helyettesítés:
enged #u egyenlő ln (x) #, ennélfogva #du = 1 / x dx #
használata # U #-helyettesítés:
# = int udu + x + C #
Integrálás (az önkényes állandó # C # elnyelheti az első határozatlan integrál tetszőleges állandóját:
# = u ^ 2/2 + x + C #
Visszatérés a következőre: #x#:
# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #
Válasz:
#int l (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #
Magyarázat:
Kezdjük a következő logaritmikus azonosító használatával:
#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #
Ezt az integrálra alkalmazva kapjuk:
#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int n (x) / x + ln (e ^ x) / x x = #
# = intn (x) / x + x / x dx = int nn (x) / x + 1 dx = int nn (x) / x x + x #
A fennmaradó integrál értékeléséhez az integrációt részek szerint használjuk:
#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) xx
megengedem #f (x) = ln (x) # és #G '(x) = 1 / x #. Ezután kiszámíthatjuk, hogy:
#f '(x) = 1 / x # és #G (x) = ln (x) #
Ezután a részegység-összetétel alkalmazásával alkalmazhatjuk:
#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -nn (x) / x xx #
Mivel az egyenlőségjel mindkét oldalán integrálunk, egyenletként oldhatjuk meg:
# 2int l (x) / x x = ln ^ 2 (x) #
#int l (x) / x x = ln ^ 2 (x) / 2 + C #
Vissza az eredeti kifejezéshez, végső választ kapunk:
#int l (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #
