Mi a konvergencia sugara ennek a hatalmi sorozatnak? ln (1-z) = - z - 1/2 z ^ 2 - 1/3 z ^ 3 ...

Válasz:

#abs z <1 #

Magyarázat:

# d / (dz) (z-1 / 2z ^ 2 + 1 / 3z ^ 3 + cdots + (- 1) ^ (n + 1) / nz ^ n + cdots) = összeg_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ KZ ^ k #

de

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = lim_ (n-> oo) (z ^ n + 1) / (z + 1) #. Most figyelembe véve #abs z <1 # nekünk van

#sum_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ k z ^ k = 1 / (1 + z) # és

#int összeg_ (k = 0) ^ oo (-1) ^ kz ^ k dz = log (1 + z) #

most a helyettesítés #Z -> - Z # nekünk van

# -int összeg_ (k = 0) ^ oo z ^ k dz = -sum_ (k = 1) ^ oo z ^ k / k = log (1-z) #

így konvergens #abs z <1 #